Oleh: Abdul Haris Rosyidi.

Matematika punya semestanya sendiri. Dan karena itu, kadang menjadi salah satu sebab suatu konsep matematika tidak dapat dipahami siswa dengan segera. Bekal pengetahuan non matematik yang dimiliki seseorang (baca siswa), tak jarang menjadi penghalang siswa sampai pada pemahaman.

Seorang siswa yang telah mengerti makna kata kumpulan, punya potensi menjadi bingung saat belajar himpunan yang tidak beranggota (himpunan kosong). Kumpulan yang dipahami siswa sebagai sesuatu yang dikumpulkan atau dihimpun, masih inline dengan pengertian himpunan yang didefinisikan sebagai kumpulan dari objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. Masalah baru muncul, saat mereka mencoba memahami konsep himpunan kosong.

Logika mereka akan mempertanyakan, “mengapa yang tak punya anggota juga disebut himpunan? Apa yang dihimpun? apa yang dikumpulkan?” Bahkan, bagi sebagian mereka yang memahami bahwa kumpulan itu harus lebih dari seobjek, akan sulit menerima konsep himpunan dengan satu anggota (singleton). “Kalau sendiri, kumpul dengan siapa?” kata mereka.

Di sisi lain, memahamkan siswa mengenai himpunan kosong merupakan bagian dari setiap himpunan, bukan perkara gampang. Pengalaman bersinggungan dengan banyak guru matematika SMP, saya berkesimpulan, sebagian besar mereka menggunakan “model pengumuman” untuk membelajarkannya. Para guru cenderung langsung bilang ke siswanya atau menuliskannya di papan, bahwa himpunan kosong itu bagian dari setiap himpunan. Tak heran, jika konsep tersebut dihafal, namun tanpa pemaknaan.

Saya pernah mencoba menanyakan hal ini pada tiga puluh guru SMP di sebuah pelatihan. Mereka tidak langsung menjawab pertanyaan saya, hanya senyum yang menjadi respon awalnya. Saya mencoba “mengejar” mereka, dan mendorongnya agar mau memberi penjelasan tentang cara mengajarkan hubungan antara himpunan kosong dengan himpunan lainnya secara sukarela. Karena tetap tak ada yang jawaban, saya menunjuk salah satu peserta, dan memintanya maju menjabarkan idenya di depan peserta lainnya. Dan saya terkejut. Penjelasannya tak terduga, sekaligus tak terjangkau oleh pikiran saya.

Pertama, ia menggambar diagram venn himpunan A={1,2,3,4} seperti pada gambar (a) berikut.

Berikutnya, ia mengatakan bahwa, di dalam himpunan A itu ada banyak ruang kosong, sehingga bisa dibuat himpunan B yang merupakan himpunan kosong, seperti pada gambar (b). Sebagai penutup ia mengatakan, jadi himpunan B (baca himpunan kosong) menjadi bagian dari himpunan A.

Mendengar penjelasan ini, saya tersenyum sejenak. Detik berikutnya, saya bertanya pada pak guru tersebut, “anaknya paham pak?” Dan beliau menjawab, “ya.” Dengan sedikit berseloroh, saya berucap, “jika anaknya sudah paham, tak butuh penjelasan lanjutan.” Namun, kelakar saya ini membuat seluruh peserta pelatihan tertawa.

Di kesempatan lainnya, saya mencoba menanyakan hal yang sama pada seorang teman yang biasa ngajar logika. Namun jawabannya, tetap belum memuaskan saya. Dia mencoba memberi ilustrasi dengan membuat contoh himpunan benda-benda yang ada di ruangan tempat kami bercakap. Ketika semua benda di ruangan tersebut dikeluarkan, yang tersisa adalah ruang kosong, tanpa benda. “Dan ruang kosong itu, adalah representasi dari himpunan kosong,” kata teman saya. Jadi himpunan kosong merupakan bagian dari himpunan yang ia buat sebelumnya.

Belum puas dengan itu, saya mencoba membuka-buka lagi catatan mengenai cara membuktikan hubungan dua himpunan itu secara matematis. Dan saya teringat kembali bahwa, bukti tak langsung yang digunakan untuk membuktikannya. Tepatnya, bukti dengan kontradiksi.

Ingatan ini memunculkan beberapa pertanyaan di benak saya. Mengapa ide pembuktian ini tak pernah (sepanjang pengetahuan saya) digunakan guru SMP dalam membelajarkannya? Apakah para guru tak yakin bahwa anak SMP akan mampu mengikuti nalar pembuktian ini? Logika mana, yang digunakan oleh guru-guru itu sehingga lebih memilih memberikannya langsung sebagai sebuah fakta dari pada memandu siswa menemukan nalarnya?

Di pemahaman saya, ide dari bukti dengan kontradiksi tersebut, bisa digunakan untuk membelajarkan hubungan himpunan kosong dengan himpunan lainnya. Pembelajaran yang menuntut siswa aktif menggunakan logikanya.

Guru dapat memulai pembelajaran dengan meminta siswa memperhatikan beberapa himpunan berikut.

A={1,2,3,4}
B={2,3,4}
C={1,4}
D={3,5}
E={2,5,7}
F={ }

Kemudian, guru mengajukan pertanyaan,

Apakah B merupakan himpunan bagian dari A? Mengapa? Dan pertanyaan yang sama juga diajukan untuk himpunan C. Jawaban yang diharapkan dari siswa adalah ya, dengan alasan semua anggota B merupakan anggota A.

Selanjutnya, guru menanyakan hal yang sama untuk himpunan D, dan E. Dan apapun jawaban siswa, guru harus mengarahkannya pada satu kesimpulan, setiap kali memutuskan bahwa himpunan P bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan Q, harus dapat menunjukkan minimal satu anggota P yang bukan anggota Q. Dan pada kasus di atas, guru harus memastikan, anak telah paham dan mampu berargumen bahwa D bukan himpunan bagian dari A karena ada anggota D yaitu 5, yang bukan anggota A.

Setelahnya, guru bisa menggunakan ide pembuktian dengan kontradiksi, dengan bertanya pada siswa, apakah F (himpunan kosong) merupakan himpunan bagian dari A? Untuk mengarahkan pada jawaban pertanyaan, guru bisa menggunakan pengandaian dan pertanyaan berikut. Andaikan F bukan himpunan bagian dari A, apa yang harus kamu tunjukkan? Harapannya, jawaban siswa berpandu pada aktivitas yang telah dilakukan sebelumnya. Yaitu, harus ditunjukkan minimal ada satu anggota F yang bukan anggota A. Dan pertanyaan bisa dilanjut dengan, apakah F mempunyai anggota?

Muara dari kegiatan ini adalah mengajak siswa kembali pada pengandaian, dan mendorong mereka sampai pada kesimpulan bahwa pengandaiannya salah. Harusnya, F adalah himpunan bagian dari A. Tambahan ilustrasi untuk meyakinkan siswa bahwa himpunan bagian merupakan hubungan yang dikotomis (jika diberikan dua himpunan A dan B, hanya satu pernyataan yang benar, A bagian B atau A tidak bagian dari B) dibutuhkan untuk mempertegas kebenaran negasi dari pengandaian.

Pada akhirnya, saya menemukan ilustrasi yang melegakan mengenai himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Seorang ibu guru muda, di sebuah pelatihan, mengajari saya bagaimana “melogiskan” konsep ini. Ibu itu menganalogikannya dengan peristiwa mengundang tamu untuk acara makan malam.

Ringkasan yang disampaikan ibu tersebut adalah sebagai berikut. “Saya mengundang tiga orang untuk makan malam di rumah. Tiga orang tersebut adalah Abdul, Haris, dan Rosyidi. Jika A menyatakan himpunan semua kemungkinan tamu yang datang pada acara makan malam saya, himpunan apa saja yang menjadi bagiannya? Kemungkinan pertama, semuanya datang, dan itu representasi dari {Abdul, Haris, Rosyidi}. Kemungkinan kedua, Haris dan Rosyidi yang datang. Dan seterusnya. Kemungkinan paling buncit, tidak ada yang datang pada jamuan makan malam tersebut, dan itu mewakili himpunan kosong. Jadi, himpunan tak beranggota itu merupakan himpunan bagian dari A.”

Dan objek yang dikumpulkan, dan didefinisikan dengan jelas pada pengertian himpunan itu, bisa berwujud ketiadaan. (Surabaya, 22 Nopember 2016)

Tentang Perkumpulan yang Tidak Beranggota

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *